La passion-Bourbaki - 1

)Je discutais récemment avec un spécialiste de l’œuvre de Simone Weil (le même que celui évoqué dans un billet de l’an dernier ), il me rappelait que le frère de la philosophe n’était autre qu’André Weil, grand mathématicien et un des fondateurs du collectif Bourbaki. Cela me rappelait inévitablement ma jeunesse estudiantine, tout comme cela m’a fait acheter et lire un petit livre pour me rafraîchir la mémoire : « Nicolas Bourbaki, histoire d’un génie des mathématiques qui n’a jamais existé » par Amir D. Aczel. Ce n’est pas que cet ouvrage (édité chez J.C. Lattès) soit un chef d’œuvre sur le plan de la vulgarisation scientifique (les mathématiciens trouveront les évocations des recherches mathématiques du groupe bien superficielles, et les non-mathématiciens n’y comprendront rien, justement peut-être à cause de cette superficialité extrême qui conduit au constat qu’à s’en tenir à des idées trop générales, souvent, il vaut mieux ne rien dire !), mais il est intéressant sur le plan factuel et à cause de cela se lit comme un vrai polar.

Pour les non-initiés, « Bourbaki » est le nom que se donna un groupe de mathématiciens français autour des années 1935 dans le but de rénover entièrement l’approche des mathématiques. Le plus actif d’entre eux à ce moment là fut André Weil, qui réunit autour de lui Henri Cartan, Claude Chevalley, Jean Delsarte, Jean Dieudonné et René de Possel (il devait s’y adjoindre d’autres membres par la suite). Le constat était qu’en ces années, les mathématiques surtout françaises avaient tendance à végéter : on apprenait les maths à l’Université sur de vieux manuels où l’on ne s’embarrassait pas de beaucoup de rigueur quand il s’agissait par exemple de présenter les notions de l’analyse (fonctions de variables réelles, continuité, dérivabilité, notion de limite etc.). Surtout, le savoir mathématique était parcellaire, fait de cantons du savoir manquant de relations. La géométrie avait peu à voir avec les nombres et l’algèbre s’empêtrait dans des techniques compliquées de résolution d’équations. Ces chercheurs décidèrent de tout reprendre à zéro, de faire en quelque sorte ce qu’Euclide avait fait à propos de la géométrie, qui nous est resté depuis comme un impérissable chef d’œuvre. Eux aussi d’ailleurs pensaient bien que leur œuvre en aurait pour au moins deux mille ans de respect et reconnaissance. Pourquoi « Bourbaki » ? c’était l’idée d’un canular : reprendre le nom de ce fameux général qui dut capituler devant Metz et tenter de récupérer ses forces à la frontière suisse, et qui avait laissé un nom dans l’histoire, pour en affubler un personnage fictif auquel on attribuerait néanmoins une biographie (même une vie de famille, une fille etc.). Nicolas Bourbaki est donc né en 1934 dans ce café à l’angle de la rue Soufflot qui autrefois s’appelait Capoulade, mais il n’a jamais existé autrement que sous la forme d’une hydre à plusieurs têtes. La comparaison est d’ailleurs bien choisie puisque chaque fois qu’une tête tombait, elle pouvait repousser (un autre membre arrivait). Une règle interne au groupe stipulait d’ailleurs qu’on ne pouvait pas être membre au-delà de cinquante ans.

(pris sur le site
http://abcmaths.free.fr/blog/2007/03/nicolas-bourbaki.html)

J’ai eu la chance de recevoir l’enseignement de deux au moins des plus brillants bourbakistes : Jacques Dixmier et Roger Godement. Savais-je seulement que j’avais cette chance ? Non hélas. Jeune potache débarquant d’un lycée de banlieue sans beaucoup de culture, je tombais simplement sur des cours qui me semblaient avoir existé là depuis des éternités. Et pourtant c’était un choc. D’abord l’abstraction. Je n’y comprenais pas grand-chose à vrai dire : on me parlait de « voisinages » et de « topologie », mais je ne me rendais peut-être même pas compte que cela servait à fonder l’analyse. Mais je me mis à aimer ces abstractions. Comme en art, on se met à se passionner pour l’art abstrait. La topologie générale était l’équivalent intellectuel des œuvres de Soulages ou d’Estève. C’est dire la force esthétique de cet enseignement. Celui qui en a parlé le mieux est certainement (encore) Jacques Roubaud, dans le volet « Mathématique » de son grand œuvre récemment édité sous le titre « le grand incendie de Londres ».

(détail d’un tableau d’Estève)

Mais avant lui un autre poète en avait parlé : Raymond Queneau. On peut peut-être encore chez quelque bouquiniste mathophile trouver un exemplaire de ce petit livre noir paru chez Hermann (le même éditeur que pour le « traité » - le seul, l’unique, en une trentaine de volumes et qui se nomme « Eléménts de mathématique », noter le singulier, jamais de « s » à « mathématiques »… car avec Bourbaki, elles sont devenues une) qui s’intitulait « Bords » et dans lequel l’auteur de « Zazie » avait réuni quelques articles qu’il avait écrits en rapport avec la science (où ai-je mis ce livre ?).Il disait – repris par Roubaud - :

Il est généralement admis à l’heure actuelle (en France et ailleurs) que le plus important traité de mathématique contemporain est signé d’un nom de fantaisie, pis même : hérité d’une plaisanterie de normaliens.

Sur quoi reposait le « bourbakisme » ? Sur la notion de structure. Qu’est-ce qu’une structure ? je ne connais pas de caractérisation plus belle que celle qu’en donna un non-mathématicien, un linguiste, le danois Louis Hjelmslev : « une unité autonome de dépendances internes ». Chez Bourbaki il y avait trois types de structures : structures d’ordre, structures algébriques et structures topologiques. Les dernières surtout me fascinaient : une topologie sur E est définie par une famille O de sous-ensembles que l’on appelle des « ouverts », vérifiant :

-   toute intersection finie d’éléments de O est encore un élément de O

-   toute union d’éléments de O est un élément de O

-   E et le vide sont éléments de O

On aura noté la subtilité : pour l’intersection, on dit « finie », mais pas pour l’union (on peut donc prendre une union infinie). Tout est là. Dans cette dissymétrie. Ça suffit à définir ensuite les notions de voisinage, limite, de convergence, d’intérieur, de fermeture etc. Car évidemment, un fermé est le complémentaire d’un ouvert. Un voisinage d’un point est n’importe quel ensemble qui contient un ouvert contenant ce point. Etc. etc.

C’est beau comme du Bach, comme du Ravel, comme un Soulages, comme un Hartung.

Mais (hélas ?) cela eut une fin…
(à suivre…)

(Hartung)